Примеры решения задач по теории срочной стоимости денег

Задача 1

Сколько средств инвестору нужно вложить сегодня, чтобы через пять лет получить 1 750 000 при ставке возврата в 9%?

Наиболее сложное во всех задачах, решаемых с помощью формул срочной стоимости денег, – это правильно прочитать исходные условия. Для наглядности всегда лучше рисовать график. В данном случае мы имеем следующую картинку:

Так как инвестор ожидает получить 1 750 000 через определённый промежуток времени, в перспективе, то эта сумма является ничем иным, как будущей стоимостью. Соответственно, определить необходимо настоящую стоимость:

Задача 2

У Вас скопилось 1 500 000 рублей, и Вы планируете их разместить на депозите. Банк предлагает Вам ставку в 11% годовых, капитализируемых ежемесячно. Какая сумма накопится на Вашем счету через семь лет?

Сумма в Вашем распоряжении сегодня – это настоящая стоимость. То, что Вы ожидаете получить – это будущая стоимость. Применяя соответствующую формулу, получаем: 1 500 000 * (1+0,11)7 = 3 114 240 рублей. Здесь, однако, кроется подвох. Процент капитализируется ежемесячно, соответственно ставка за период будет 0,92 % (11% годовых разделить на 12 месяцев), а число периодов – 84 (7 лет умноженные на 12 месяцев). Правильным решением, таким образом, является 1 500 000 * (1+0,0092)84 = 3 228 305 руб.

 

Задача 3

Вы хотите знать, сколько лет вам потребуется, чтобы удвоить капитал в размере 1 200 000 положив его на сберегательный (депозитный) счёт, обещающий 7% годовых.

В данной задаче есть две суммы: то, что инвестируется – это настоящая стоимость; то, что ожидается к получению – это будущая стоимость. Пользуясь любой из формул для единовременных сумм можно вывести формулу расчёта периода при известном проценте:

Подставив исходные данные, получается примерно 10 лет и 3 месяца. Альтернативно, можно использовать правило 72 = 72 / 7 = 10,28.

Задача 4

Какой процент по депозиту должен быть, чтобы утроить сумму инвестиции за 15 лет?

Алгебраически разложим формулу вычисления будущей стоимости:

В результате получаем 7,6%.

Задача 5

Кредитная организация предлагает Вам 10% годовых по депозитному вкладу. Сколько Вам нужно вложить сегодня, чтобы в течение 7 лет получать по 35 000 ежемесячно?

Здесь в виде исходный данных мы имеем регулярный, то есть вычисляемый в конце периода, аннуитет в размере 35 000. Составим график:

Таким образом, неизвестным оказывается настоящая стоимость, рассчитываемая по формуле вычисления аннуитета:

Получаем 2 044 735,90.

Задача 6

Предположим, Ваш друг покупает квартиру и просит у Вас 2 000 000 рублей в долг, предлагая возвращать его Вам ежемесячно в течение пяти лет. Процентную ставку Вы согласовали в размере 4% годовых. Какова будет выплата?

Исходная сумма для Вас является инвестицией: Вы её отдаёте, вкладываете, и потому отражаем её как минус. Неизвестным является сумма, получаемая Вами в каждый период времени, то есть аннуитет.

В данном случае применяется формула для вычисления регулярного аннуитета через известную настоящую стоимость:

Решение даёт Вам 449 254, 23 рубля в год или 37 437,85 рублей в месяц.

Задача 7

Вас пригласили на хорошую работу, и обещанная зарплата позволит Вам откладывать 15 000 ежемесячно. Сколько вы накопите через семь лет, если будете вкладывать эти деньги в банк под 9% годовых?

Так как вы планируете получить что-то через какое-то время, то искомое будет будущей стоимостью при известном аннуитете:

Для решения используется соответствующая формула:

В итоге Вы получите 1 656 078 рублей.

Задача 8

Банк предложил процент по депозиту в размере 7,2% годовых. Через 3 года процент увеличился и составил 8,3%. Сколько составит совокупное процентное увеличение начального капитала в конце пятилетнего периода?

Предположим, что сумма начального капитала составляла 900 000 руб. Используя формулу вычисления будущей стоимости, рассчитываем накопленный капитал через три года по ставке в 7,2%: 900 000 * (1+0,072)3 = 1 108 733.

Далее, по той же формуле вычисляем будущую стоимость на конец пятого года по изменившейся ставке, при это настоящей стоимостью будет ранее вычисленное значение, а периодом – оставшиеся два года: 1 108 733 * (1+0,083)2 = 1 300 420 руб.

Теперь определяем общий накопленный капитал: (1 108 733 — 900 000) + (1 300 420-1 108 733) = 406 912

и процентное отношение к исходной инвестиции: 406 912 / 900 000 = 44,49%.

Альтернативное решение можно представить в алгебраическом виде:

Задача 9

Вы планируете продать свою недвижимость. Подготовка к сделке и поиск оптимального предложения займут три месяца. Арендатор, который платит Вам 140 000 ежемесячно, попросил Вас обусловить продолжение действия его договора до конца года за соответствующую компенсацию. Каков минимальный размер такой компенсации, если за ставку дисконтирования принимается годовое увеличение аренды в размере 3,5 процента?

Арендатор хочет остаться ещё год, а Вы намерены продать недвижимость через 3 месяца. Отсюда, первое, что следует сделать – это рассчитать, сколько составит настоящая стоимость 9 платежей аннуитета. Следует учитывать, что, поскольку арендная плата вносится в начале каждого периода, то она является аннуитетом к дате (пренумерандо). Кроме того, ставка дисконтирования должна быть приведена в соответствие с периодами платежей.

Получаем 1 245 442 рублей, составляющих настоящую стоимость 9-ти арендных платежей на начало периода. Так как отсчёт этого периода начнётся через три месяца, а арендатор готов компенсировать их сегодня, необходимо рассчитать стоимость этой суммы на сегодняшний день, что делается через формулу настоящей стоимости:

В результате имеем 1 234 607 рублей, что будет составлять минимальную компенсацию за 9 месяцев аренды на текущий момент времени.

Задача 10

Вы приобретаете квартиру и получили кредит под её залог в размере 6 000 000 рублей сроком на 20 лет и под ставку в 9,2% годовых. Сколько составит ежемесячный платёж. если кредит рассчитан как стандартная амортизация? Сколько составит размер принципала (тела долга) и процента за 11-ый год? Чему будет равен ежемесячный процент, если капитализация осуществляется ежеквартально?

Первая часть задания требует исчислить стандартный аннуитет при имеющейся настоящей стоимости, не забывая, что вычисляется ежемесячный платёж (20 лет превращается в 240 месяцев, а ставка 9,2% – в 0,77%):

В результате получается 54 758 рублей.

Для вычисления суммы принципала на конкретный период сначала рассчитывается годовой аннуитет:

составляющий 666 673 рубля.

Для расчёта принципала используем формулу аннуитета для конкретного периода:

В итоге получаем принципал в размере 276 494 рубля. Вычитая тело долга из ежегодного платежа, получаем размер процента: 666 673 — 276 494 = 390 178.

Для расчёта процента при неравномерно капитализации применяется формула:

Получаем 0,0075 или 0,75%.

Задача 11

Объект недвижимости имеет рыночную стоимость в размере 12 000 000 рублей. Игнорируя прочие факторы, воздействующие на цену недвижимости, допускаем, что эта стоимость сохраняется на протяжении длительного времени, подвергаясь только ежегодной инфляции в размере 6,5%. Рассчитайте стоимость недвижимости через 7, 10 и 15 лет соответственно, а также настоящую стоимость этих показателей, принимая за ставку дисконтирования 15%

Первым этапом следует определить будущую стоимость недвижимости. Так как на неё влияет только инфляция, получаем следующие показатели для каждого из трёх периодов:

Далее определяем настоящую стоимость:

Альтернативное решение предполагает прямой расчёт настоящей стоимости через реальную ставку возврата, являющуюся разностью между номинальной ставкой дисконтирования и инфляцией:

Различие итоговых значений объясняется применением упрощённого расчёта реальной ставки. Для более точных вычислений используется формула Фишера:

результат будет соответственно:

Задача 12

У Вас накопилось 4 000 000 рублей, и Вы рассматриваете 2 альтернативы: приобрести квартиру и сдавать её в аренду за 42 000 в месяц или же разместить эти средства на банковском депозите, обещающим 12% годовых. Какая из опций более выгодна в 5-летней перспективе, если применять ставку дисконтирования в размере 8%? Проведите расчет методом чистой приведенной стоимости. Какие условия должны быть изменены, чтобы выбор инвестора изменился?

Первым шагом следует вычислить поступления по депозиту. Это делается через формулу сложного процента, при равенстве периодов капитализации и выплаты, совпадающую с формулой будущей стоимости:

Будущая стоимость, исчисленная таким образом, включает в себя и накопленный процент и вложенную сумму. Для оценки прибыльности необходимо высчитать процент за каждый период, что делается посредством вычитания суммы начальной инвестиции из будущей стоимости. При этом следует иметь в виду, что начальная инвестиция на каждый последующий период включает накопленный процент за предыдущий:

Применяя формулу чистой приведённой стоимости, дисконтируем поступления процента за каждый из периодов и вычисляем показатель ЧРС (NPV). Возврат начальной суммы в 4 000 000 дисконтируется по пятому году (это как бы предельная стоимость инвестиции):

Так как ЧРС > 0, то данное предложение выгодно с точки инвестирования.

Теперь рассматриваем опцию с арендой недвижимости. Так как по условиям размер арендной платы известен и он не будет изменяться в каждый период, то можно для расчётов использовать формулу настоящей стоимости для аннуитетов:

В данном случае сразу получается приведённая стоимость всех поступивших за период инвестиции средств. Для контроля тот же результат можно получить через суммирование дисконтированных потоков за каждый период:

Так как в данном примере объект недвижимости сохраняется в собственности инвестора, то предельная стоимость равна нулю и, соответственно, формула ЧРС упрощается до расчета простой разницей между суммой инвестиции и приведенной (настоящей) стоимостью аренды за 5 лет:

Таким образом, эта инвестиция невыгодна и альтернатива по депозиту предпочтительней.

Однако, если после 5-ти лет аренды объект недвижимости удастся продать не менее, чем за 2 950 000, то инвестиция становится прибыльной:

Если же продажная цена составит не менее 4 600 000, то этот вариант инвестирования становится более привлекательным, чем банковский депозит:

Задача 13

Вам предлагаются два объекта недвижимости на выбор. Один из них стоит 5 200 000 и будет приносить аренду в первые три года, – по 450 000 ежегодно, годы 4-5 – 390 000, годы 6-8 – 415 000 и в 9-10 годы, – 480 000. Второй объект обойдётся в 4 350 000, но арендатор готов заключить долгосрочный договор с арендной платой на весь период в размере 400 000 в год. Какое из предложений более выгодно в 10-летней перспективе при ставке дисконтирования в 11% и увеличением стоимости недвижимости на 40% через 10 лет?

Первым этапом следует рассчитать настоящую настающую стоимость всех платежей поступивших от первого объекта по формуле настоящей стоимости для аннуитетов Здесь следует учитывать, что периоды равных платежей выделяются отдельно и переменная n отражает их последовательное количество. Каждый из периодов равных платежей дисконтируются на предыдущий период:

Таким образом, настоящая стоимость будет равна:

Продажная цена через 10 лет увеличится на 40% и составит 7 280 000, что даёт следующий результата при расчёте ЧРС:

Отрицательный показатель ЧРС делает эту инвестицию неэффективной.

Рассмотрим второй вариант. Так как аренда здесь не меняется на протяжении всего периода, то можно использовать прямую формулу вычисления настоящей стоимости через аннуитет:

Далее, оцениваем привлекательность этой инвестиции, принимая за продажную стоимость увеличение в 40% от цены приобретения:

Положительная чистая реальная стоимость делает этот проект инвестиционно привлекательным.

Задача 14

Инвестор нуждается в промышленном объекте для создания производства. Он рассматривает возможности долгосрочной аренды на 30 лет, в юрисдикциях, где её оформление возможно, в том числе, за выплату единовременной суммы. Ему предложили опции:

  1. Единовременная выплата в размере 2 000 000.
  2. Единовременный платёж в 1 000 000 и последующая арендная плата равная 31 000 ежегодно.
  3. Арендная плата на протяжении всего периода аренды в размере 123 000 ежегодно.

Какая из опций более выгодна, с точки анализа по чистой приведённой стоимости? Изменится ли выбор инвестора и каким образом, если анализ рынка допускает резкий рост цен на промышленные объекты через 5 лет, и муниципалитет готов, заключив сделку с собственником, готов предложить опцию обратной аренды (sale and lease back) на следующих условиях соответственно исходным опциям:

  1. Возможная цена продажи (переуступки) 1 750 000; обратная аренда – 60 000 ежегодно.
  2. Возможная цена продажи (переуступки) 980 000; обратная аренда – 31 200 ежегодно, начальная аренда плата собственнику сохраняется.
  3. Условия не меняются.

Ставка дисконтирования сохраняется на уровне 12%.

Определяем лучший вариант по первоначальным данным:

Так как первая опция не подразумевает никаких иных расходов, кроме единовременной выплаты, то затраты по ней буду составлять – 2 000 000.

По второй опции определяем настоящую стоимость для всей суммы расходов (арендная плата за 30 лет вычитается, так как является расходом):

По третьей опции считается только настоящая стоимость:

Из предложенных вариантов, выгоднее третий.

При изменённых условиях получаем:

Второй вариант выглядит более экономически обоснованным, так как навлекает меньше расходов.

 

Задача 15

Собственник планирует провести ремонт стоимостью в 4 750 000, и, чтобы вернуть затраты в течение последующих семи лет, намерен установить арендную плату на 925 000 в год выше, чем текущие цены. Потенциальный арендатор предложил оплатить ремонт за свой счёт, при условии, что арендные платежи не будут повышаться в последующие семь лет. Какова требуемая ставка возврата для собственника? При каких обстоятельствах предложение арендатора выгодно ему самому и при каких – собственнику?

В данной задаче необходимо определить процентную ставку, которая может быть вычислена только путём подстановки данных в соответствующую формулу:

Искомая ставка составит примерно 8,4% годовых. Если её показатель будет выше, то предложение арендатора выгодно собственнику, например при 12%:

Аренда, которую он уплатит за 7 лет, в текущих деньгах будет составлять меньше (4 221 475), чем его затраты на ремонт (4 750 000). И наоборот, – если бы собственник оплачивал бы ремонт сам, он бы смог его компенсировать в установленный себе срок. Напротив, если рынок будет стабильным и ставка сохранится на низком уровне (допустим 4%), то арендатору более выгодно оплатить ремонт:

Задача 16

В теории рынок недвижимости имеет цикличный характер с 4-мя ярко выраженными фазами:

  • умеренный рост (восстановление);
  • экспансия;
  • пик;
  • рецессия.

Учитывая, что на цены на недвижимость в значительной мере оказывают влияние локальные факторы, период каждой из фаз может значительно варьироваться. Генерализованно, тем не менее, цикл может быть представлен следующим графиком:

Основываясь на данном графике, какие вы дали бы рекомендации инвестору при следующих условиях:

  1. Стоимость объекта недвижимости – 4 000 000, арендная плата на настоящий момент – 780 000 в год.
  2. Стоимость объекта недвижимости – 9 000 000; два года назад сопоставимый объект продавался за 7 500 000. ь
  3. Стоимость объекта недвижимости – 10 000 000, ежегодная аренда по схожей недвижимости за последние три года составляла: 350 000; 440 000; 380 000.

 

  1. Ожидаемая ставка возврата составляет 19,5% (780 000/4 000000). Это очень высокая ставка и если похожие значения существуют по большей части рынка, то рынок приближается к пику. Инвестиция может быть сделана на краткосрочную перспективу и основанная доля прибыли будет не от аренды, а от продажи. Например, без продажи, ЧРС на 5 год будет составлять:

а на 10-ый уже:

Решающим фактором прибыльности этого проекта станет своевременная реализация инвестиции. Даже при ослаблении роста цен, продажа на 5-ый год за сумму в 4 800 000 даёт прибыль:

Ставка возврата равняется 9,54%:

Это говорит об устойчивом росте рынка. При прочих равных (достаточный размер арендной платы и т.п.) инвестиция должна быть выгодной как в краткосрочный период, так и в среднесрочный.

За отсутствием иных данных, рассчитываем ожидаемую ставку возврата за последние 3 года по отношению к текущему предложению

Средняя ставка будет равна 3,75%. Низкая ставка возврата в теории является слишком неопределённой базой для принятия решения об инвестициях – в равной мере она может свидетельствовать как о начале роста, таки и о стагнации, так и о недавней рецессии, которая может оказаться затяжной. В данном случае необходимо дополнительно исследовать рынок. Если например, окажется, что схожий объекты три года назад продавался за 7 200 000, то тогда ставка будет 11,06%:

С другой стороны, если текущая аренда на схожих объектах соответствует уровню 350 000 – 450 000 в год, то инвестору можно делать такое вложение только в долгосрочной перспективе. Кроме того, цена приобретения – это предложение. Инвестор может рассчитать приемлемую для себя цену исходя из собственных соображений. Допустим, если он готов делать долгосрочную инвестицию, но по ставке в 7%, то можно прибегнуть к формуле вечного аннуитета и рассчитать возможную стоимость предложения:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *