Уравнения срочной стоимости денег

Уравнения срочной стоимости денег (англ. Time Value of Money mathematics)

Уравнения срочной стоимости денег (англ. Time Value of Money mathematics) – это формулы, применяемые для анализа инвестиций, путём вычисления тех или иных показателей. Каждая формула может иметь до пяти таких показателей (компонентов):

Настоящая (реальная) стоимость (Present Value – PV) – это стоимость инвестиции на начальный период вложения, то есть на период, равный нулю, происходящий сегодня, в настоящий момент. Все прочие затраты и прибыли по времени происходят после этого периода. Следует помнить, что для инвестора все будущие средства это сумма приведённых (дисконтированных) платежей на начало проекта (см. Чистая реальная стоимость).

Будущая стоимость (Future Value – FV) – это стоимость денег, инвестированных в нулевой период, на какой-либо иной период времени, который состоится в будущем по отношению к начальной инвестиции. Будущая стоимость – это разовая выплата. Если в будущем происходит несколько платежей, то они рассчитываются по формулам аннуитетов.

 

Несмотря на кажущуюся очевидность различия Настоящей стоимости и Будущей стоимости, определить к какому платежу применять ту или иную формулу подчас весьма затруднительно. Здесь можно использовать простое правило: то, что Вы вкладываете (отдаёте) сейчас – может иметь только Будущую стоимость; и наоборот: – то, что Вы получите привлекает к себе формулы расчёта Настоящей стоимости.

Аннуитет (Pmt) – это серия равных выплат или платежей, происходящих в будущий период от момента начала инвестиции регулярно. Аннуитет имеет две характерные черты – 1) допускается, что это равный. неизменный платёж (хотя есть и неравномерные аннуитеты, но они не решаются с помощью формул срочной стоимости денег), и 2) всегда допускается, что все периоды одинаковы. То есть через аннуитет невозможно суммировать денежные поступления за день, неделю, месяц и год. Напротив, в аннуитетах всегда будут либо еженедельные, ежемесячные или ежегодные платежи. Отдельно взятый платеж из аннуитета может рассматриваться как будущая стоимость, но их совокупность на регулярной основе требует применения формул аннуитета.

Процент (интерес — i) – это коэффициент увеличения начальной суммы инвестиции за период времени, выраженный в процентах. Процент, как и аннуитет, имеет регулярный характер и, в случае расчёта аннуитетов, должен иметь те же временные рамки. То есть если Вам в условиях даётся ежемесячный платёж и годовой процент, то процент следует разделить на 12. Как правило, процент также является константой, но при решении некоторых задач он может изменяться в какой-либо точке времени. В этом случае часто применяется средневзвешенный процент на весь период.

Период (n),– Время «жизни» инвестиции, или же, если речь идёт об аннуитетах – количество периодов (n) – равные промежутки времени, за которые генерируется определённый доход или осуществляется платёж.

Настоящая стоимость – единовременная сумма

 

Уравнение настоящей стоимости отвечает на вопрос инвестора, сколько мне нужно вложить сегодня, чтобы через пять лет получить 1 750 000 при ставке возврата в 9%? Решение: 1 750 000/(1+0,09)5 = 1 137 380 рублей.

Часто, для лучшего восприятия уравнения стоимости денег представляются в графическом виде:

 

Будущая стоимость – единовременная сумма

Эта формула даёт ответ на вопрос, сколько будет стоить 1 500 000 рублей через 7 лет при ставке возврата в 11%? Ответ: 1 500 000 * (1+0,11)7 = 3 114 240 рублей.

Настоящая стоимость – регулярный аннуитет

Кредитная организация предлагает Вам 10% годовых по депозитному вкладу. Сколько Вам нужно вложить сегодня, чтобы в течение 7 лет получать по 35 000 ежемесячно?

Используя формулу для определения настоящей стоимости через аннуитет, получаем 2 044 735,90.

Предположим, Ваш друг покупает квартиру и попросил у Вас 2 000 000 рублей в долг, предполагая возвращать его Вам ежемесячно в течение пяти лет. Процентную ставку Вы согласовали просто как учёт инфляции в размере 4% годовых. Какова будет выплата? Используя формулу, выводим расчёт для периодичного платежа:

 

Pmt = 449 254, 23 рубля в год или 37 437,85 рублей в месяц.

Будущая стоимость – регулярный аннуитет

Вас пригласили на хорошую работу, и обещанная зарплата позволит Вам откладывать 15 000 ежемесячно. Сколько вы накопите через семь лет, если будете вкладывать эти деньги в банк под 9% годовых? Ответ: 15 000 * 12 * [(1+0,09)7 -1/ 0,09] = 180 000 * 9,2004 = 1 656 078 рублей. Однако, если банк капитализирует ставку ЕЖЕМЕСЯЧНО, то Вы получите 1 746 404 рубля (ставка 9% делится на двенадцать, а число периодов умножается на двенадцать).

При исчислении аннуитетов особенно важно обращать внимание на корреляцию периодов между собой. Если вы принимаете (или вам даётся в условиях задачи) годовой процент, то периоды и платежи измеряются также в годах и наоборот. При этом, следует учитывать, что автоматически меняется период капитализации:

год квартал месяц
процент 9,00% 2,25% 0,75%
период 7 28 84
размер платежа 180 000 45 000 15 000
1 + i (1+i)n ((1+i)n-1)/i FVA
год 1,09 1,83 9,20 1 656 078,24
квартал 1,02 1,86 38,42 1 729 089,98
месяц 1,01 1,87 116,43 1 746 403,93

 

Прочие формулы для регулярного аннуитета

Вычисление регулярного аннуитета при известной Будущей стоимости (также имеет название «Фактор невозвратных затрат» – Sinking Fund Factor):

Вычисление количества лет (периодов) при известной Будущей стоимости:

Вычисление количества лет (периодов) при известной Настоящей стоимости:

 

Настоящая стоимость – аннуитет к дате

В теории Аннуитет к дате отличается от Стандартного аннуитет одним периодом. На практике, однако, это различные виды платежей, так как, например, ни один финансовый инструмент в принципе не может рассчитываться как аннуитет к дате – Вы не можете получить деньги на нулевой период, поскольку процент начисляется ЗА какой-либо ПЕРИОД использования средств. Но, если Вы сдаёте квартиру, или земельный участок в аренду, Вам ничто не мешает требовать взноса арендной платы на начало периода. Здесь возникает аннуитет к дате. Предположим, Вы нашли арендатора, который согласен платить ежемесячно 30 000 за съём квартиры с ежегодной индексацией в размере 7% (индексация здесь означает процент/интерес – i). Сколько в итоге вы получите за 3 года аренды в текущих ценах? Ответ: 1 010 887 рублей.

Будущая стоимость – аннуитет к дате

Вы продаёте квартиру и нашли покупателя. Однако он просит Вас об оформлении рассрочки на период в четыре года с ежегодной индексацией платежа в размере 8%. Сколько он будет платить ежемесячно, если Вы рассчитали, что примерная цена квартиры через 4 года составила бы 3 250 000?. Корректируем формулу для периодичного платежа:

и получаем 926 953 рубля в год или 77 246 рублей ежемесячно

Прочие формулы для аннуитета к дате

Вычисление аннуитета к дате при известной Настоящей стоимости:

Вычисление количества лет (периодов) при известной Будущей стоимости:

Вычисление количества лет (периодов) при известной Настоящей стоимости:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *